1999年全国高中数学联合竞赛加试及答案

  • 资源名称:1999年全国高中数学联合竞赛加试及答案
  • 资源分类:全国联赛
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  • 更新时间:2008-10-22 11:43:00
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资源简介

一、(满分50分)如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠ BAD 。在 CD 上取一点 E , BE 与 AC 相交于 F ,延长 DF 交 BC 于 G 。
求证:∠ GAC =∠ EAC .
解析:连结BD交AC于H.对△BCD用塞瓦定理,可得
因为AH是∠BAD的平分线,由角平分线定理,可得 .
故 .
过点C作AB的平行线AG的延长线于I,过点C作AD的平行线交AE的延长线于J.
则 . 所以,
从而,CI=CJ.
又因为 CI∥AB,CJ∥AD,
故 ∠ACI=π-∠ABC=π-∠DAC=∠ACJ.
因此,△ACI≌△ACJ.
从而,∠IAC=∠JAC,即 ∠GAC=∠EAC.
二、(满分50分)给定实数 a , b , c ,已知复数 z 1 , z 2 , z 3 满足: ,求| az 1 + bz 2 + cz 3 |的值。
解析:记 eiθ=cosθ+isinθ.
可设 , ,则 .
由题设,有eiθ+eiφ+e-i(θ+φ)=1.φ
两边取虚部,有
0=sinθ+sinφ-sin(θ+φ)

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