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1、如图，已知两个半径不相等的圆 与圆 相交于M、N两点，且圆 、圆 分别与圆 内切于S、T两点。求证：OM⊥MN的充分必要条件是S、N、T三点共线。（命题组供题）
证明：如图，设圆 、圆 ，圆 的半径分别为 、 、 。由条件知O、O1、S三点共线及O、O2、T三点共线，且OS＝OT＝ ，连结OS、OT、SN、NT、O1M、O1N、O2M、O2N、O1O2。
充分性：设S、N、T三点共线，则∠S＝∠T,又△O1SN与△O2NT均为等腰三角形,
∴∠S＝∠O1NS，∠T＝∠O2NT, ∴∠S＝∠O2NT, ∠T＝∠O1NS，
∴O2N∥OS, O1N∥OT,故四边形OO1NO2为平行四边形，由此知OO1＝O2N＝ ＝MO2,
OO2＝O1N＝ ＝MO1, ∴△O1MO≌△O2OM,从而有 ，由此得O1O2∥OM,又由于O1O2⊥MN，故0M⊥MN。
必要性：若0M⊥MN，又O1O2⊥MN，故O1O2∥OM，从而有 ，
设OM＝ ，由O1M＝ ，O1O＝ － ，O2O＝ － ，O2M＝ ，知△O1MO与△O2OM 的周长都等于 ＋ ，记 ，由三角形面积的海伦公式，有
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