数学文化 从欧几里得几何到非欧几何
发布:佚名 时间:2010-8-4 17:14:00 来源:京翰教育中心 录入:技艺 人气:202
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将公设、公理分开是从亚里士多德开始的，现代数学将公设、公理都叫做公理。第五条公设与“在平面内过已知直线外一点，只有一条直线与已知直线不相交（平行）”相等价。现在把后一个命题叫做欧几里得平行公理。
自《几何原本》问世以来，直到19世纪大半段以前，数学家一般都把欧几里得的著作看成是严格性方面的典范，但也有少数数学家看出了其中的严重缺点，并设法纠正。首先，欧几里得的定义不能成为一种数学定义，完全不是在逻辑意义下的定义，有的不过是几何对象的直观描述（比如点，线，面等），有的含混不清。这些定义在后面的论证中根本是无用的。其次，欧几里得的公设和公理是远不够的。因而在《几何原本》中许多命题的证明不得不借助直观，或者无形中引用了欧几里得的5个公理之外的公设或公理的东西。
针对欧氏几何的上述缺陷，数学家们做了大量工作来弥补这些缺陷。到19世纪末，德国数学家希尔伯特（D.Hilbert，1862~1943）于1899年发表了《几何基础》，书中成功地建立了欧几里得几何的一套完整的公理系统。首先他提出了8个基本概念，其中三个是基本对象：点、直线、面；5个是基本关系：点属于（或关联）直线，点属于（或关联）平面，一点在两点之间，两线段合同，两角合同。这些基本概念应服从5组公理：关联公理；顺序公理；合同公理；连续公理；平行公理。（参见沈纯理等，经典几何，科学出版社，2004或郑崇友等，几何学引论（第二版），高等教育出版社，2005）。
另外，人们注意到欧几里得平行公理是否与其它公理独立的问题，即平行公理可否能用其它公理推导出来。虽然有很多学者（包括一些很有名的数学家）曾宣称已经证明平行公理能用其它公理推导出来，但最后发现这些论证都是不正确的。于是从意大利数学家Saccheri（1733）开始，人们就转而猜平行公理与其它公理是独立的，即它不能从其它公理推导出来。罗巴切夫斯基（Лобачевский,Н.И.，1792~1856）和波尔约（J，Bolyai，1802~1860）分别在1829年和1832年独立地用平行公理的反命题，即用“过给定直线外一点，存在着至少两条直线与给定的直线不相交”来代替欧几里得平行公理，并由这套新的体系演绎出一套与欧几里得几何迥然不同的命题，但并没有导致任何的矛盾，非欧几何就这样产生了。但是要人们真正信服这种纯理性的几何体系，还是应该将这种“虚”的几何学真正地构造出来，即提供这种“虚”几何的现实模型。19世纪70年代，德国数学家克莱因（F.Klein，1849~1925）提出了Klein模型，庞加莱（J．H．Poincare，1854~1912）提出了上半平面Poincare模型。这些模型都能将非欧几何学在人们已经习惯的欧氏空间中实现出来。这样的非欧几何叫做双曲几何。
另一种非欧几何的发现者是德国数学家黎曼（G.F.B.Riemann,1826~1866）。那是他在1854年讨论无界和无限概念时得到的成果。欧几里得的第二条公设说：直线可以无限延长。但是，并不定蕴涵着直线就长短而言是无限的，只不过是说它是无端的或无界的。例如，连接球面上两点的大圆的弧可被沿着该大圆无限延长，使得延长了的弧无端，但确实就长短而言它不是无限的。将欧几里得的公设（1），（2）和（5）作如下的修正：
（1）两个不同的点至少确定一条直线；
（2）直线是无界的；
（3）平面上任何两条都相交。
就可得到一种相容的几何学，称为黎曼的非欧几何（椭圆几何）。这样的几何可以在球面上实现。
由于罗巴切夫斯基和黎曼的非欧几何的发现，几何学从传统的束缚中解放出来了，从而为大批新的、有趣的几何的发展开辟了广阔的道路，并有广泛的应用，如：在爱因斯坦发现的广义相对论中，用到黎曼几何；由1947年对视空间（从正常的有双目视觉的人心理上看到的空间）所作的研究得出结论：这样的空间最好用罗巴切夫斯基的双曲几何来描述。
如果实数系是相容的，则可以证明以上几种几何的公理系统都是各自相容的、独立的，但都不是完全的。然而奥地利数学家哥德尔（K.Godel,1906~1978）证明了“对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，存在F中的不可判定命题。”及“对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，F的相容性不能在F中被证明。”因而想证明数学的内部相容性问题也就无望了。