数学文化 从欧几里得几何到非欧几何
发布:佚名 时间:2010-8-4 17:14:00 来源:京翰教育中心 录入:技艺 人气:168
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从欧几里得几何到非欧几何
欧几里得（Euclid，约公元前330~275）的《几何原本》是一部划时代的著作，其伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的典范。公元7世纪以前的所谓几何学，都只限于一些具体问题的解答，并且是十分粗糙的、零碎的、片段的和单凭经验的。当积累起来的几何知识相当丰富时，把这一领域的材料系统地整理，并阐明它们的关系，就显得十分必要了。由于几何学本来的对象是图形，研究它必然要借助与空间的直观性。但是直观性也有不可靠的时候，因而在明确地规定了定义和公理的基础上，排除直观性，建立合乎逻辑的几何学体系的思想在古希腊时代就已经开始。欧几里得就是在这种思想的基础上，编著完成了他的《几何原本》。
《几何原本》的第一卷是全书逻辑推理的基础，给出全书最初出现的23个定义，5条公设，5条公理：
定义
（1） 点没有部分。
（2） 线有长度，而没有宽度。
（3） 线的界限是点（注：《几何原本》中没有伸展到无穷的线）。
（4） 直线是同其中各点看齐的线。
（5） 面只有长度和宽度。
（6） 面的界限是线。
（7） 平面是与其上的直线看齐的面。
（8） 平面上的角是在一个平面上的两条相交直线的相互倾斜度。
（9） 当形成一角的两线是一直线时，这个角叫做平角。
（10） ~（22）（略）（是关于直角、锐角、钝角、圆、三角形、四边形等的定义）。
（23）平行直线是在同一个平面内，而且往两个方向无限延长后，在这两个方向上都不会相交的直线。
关于几何的基本规定的5条公设：
（1） 从每个点到每个其它的点必定可以引直线。
（2） 每条直线都可以无限延伸。
（3） 以任意点作中心，通过任何给定的点另一点，可以作一个圆。
（4） 所有的直角都相等。
（5） 同平面内如有一条直线与另两条直线相交，且在前一条直线的某一侧所交的两内角之和小于两直角，则后两条直线无限延长后必在这一侧相交。
关于量的基本规定的5条公理：
（1） 等于同量的量相等；
（2） 等量加等量，总量相等；
（3） 等量减等量，余量相等；
（4） 彼此重合的量是全等的；
（5） 整体大于部分。
欧几里得在此基础上运用逻辑推理，导出了许许多多的命题（在《几何原本》中包含了465个命题），从而构成了欧几里得几何学。
由前三个公设限定了用圆规和无刻度的直尺可以完成哪些作图，因此这两件仪器被称为欧几里得工具，使用它们可以完成的作图称为欧几里得作图，即尺规作图。这种作图增加了几何学的趣味性。人们花费大量的精力去解决古希腊的几何三大难题：
（1） 倍立方问题：求作一个立方体，使体积为已知立方体的二倍；
（2） 三等分角问题：三等分一个（任意的）已知角；
（3） 化圆为方问题：求作一个正方形，使其面积为已知圆的面积。
尽管是徒劳的，但从各方面推动了数学的发展。